Teorema racional de las raíces

El teorema racional de las raíces da raíces racionales posibles de un solo polinomio variable con coeficientes del número entero. Las raíces racionales son una raíz de un polinomio que sea un número racional. Dado un polinomio
(3x-2) (5x+7)=15x^2+11x-14,
cualquier raíz racional del polinomio tiene un factor de a0 como numerador y un factor de como denominador. El teorema racional de las raíces también se llama el teorema racional de los ceros.

Comience con el polinómico 2x3 + 5x2 - 4x - 3. Desde a0 = -3, el numerador de cualquier raíz racional debe ser uno de ±1, ±3. Desde a3 = 2, el denominador de cualquier raíz racional debe ser uno de ±1, ±2.

Para ver porqué, comience con los dos factores
(3x-2) (5x+7).
La determinación de cada factor a 0 da las raíces del polinomio:
3x-2=0 implica 3x=2 implica x=3/2
y
5x+7=0 implica 5x=-7 implica x=-5/7.
Las raíces del polinomio (3x+2)(5x-7) son x = 2/3 y x = -7/5.

Ahora multiplique los dos factores del polinomio.
(3x-2) (5x+7)=3x*5x+3x*7+ (- 2) *5x+ (- 2) *7=15x^2+21x-10x-14=15x^2+11x-14.
Según el teorema racional de las raíces, cualquier raíz racional del polinomio será un factor de -14 dividido por un factor de 15. Los factores de -14 son ±1, ±2, ±7, ±14. Los factores de 15 son ±1, ±3, ±5, ±15.

Ejemplos

PasoEcuaciónDescripción
1¿P (x)=2x^3+5x^2-4x-3?0Éste es el polinomio cuyo encontrar raíces.
2Los factores de 2 son ±1, ±2.Encuentre todos los factores de a0.
3Los factores de -3 son ±1, ±3.Encuentre todos los factores de a3.
4{± (1/1), ± (3/1), ± (el 1/2), ± (3/2)Calcule todas las raíces racionales posibles dividiendo los factores de -3 por los factores de 2.
5{±1, ±3, ± (el 1/2), ± (3/2)Simplifique cualquier fracción que pueda ser simplificada.
6¿P (1)=2 (1)^3+5 (1)^2-4 (1) - 3?0Pruebe la raíz x=1 substituye 1 por x.
7¿2*1+5*1-4*1-3?0Simplifique los exponentes.
8¿2+5-4-3?0Simplifique la multiplicación.
9¿0?0Simplifique la suma. Puesto que 0=0 es una declaración verdadera, 1 es una raíz de P(x).
10(2x^3+5x^2-4x-3)/(x-1) =2x^2+7x+3Utilice la división sintética para encontrar el factor restante.
11P (x)= (x-1) (2x^2+7x+3)Aquí están los factores del polinomio. Utilice la ecuación cuadrático para encontrar cualquier raíz cuadrático del 2x2+7x+3.
Ejemplo 1

PasoEcuaciónDescripción
1¿P (x)=2x^3+5x^2-4x-3?0Éste es el polinomio cuyo encontrar raíces.
2Los factores de 2 son ±1, ±2.Encuentre todos los factores de.
3Los factores de -3 son ±1, ±3.Encuentre todos los factores de a0.
4{± (1/1), ± (3/1), ± (el 1/2), ± (3/2)Calcule todas las raíces racionales posibles dividiendo los factores de -3 por los factores de 2.
5{±1, ±3, ± (el 1/2), ± (3/2)Simplifique cualquier fracción que pueda ser simplificada.
6¿P (3)=2 (3)^3+5 (3)^2-4 (3) - 3?0Pruebe la raíz x=3 por 3 que substituyen adentro para el X.
7¿2*27+5*9-4*3-3?0Simplifique los exponentes.
8¿54+45-21-3?0Simplifique la multiplicación.
9¿84?0Simplifique la suma y la resta. Desde 84≠0, 3 no es una raíz de P(x).
Ejemplo 2

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Teorema racional de las raíces. 2009-04-03. Enciclopedia de Todas las Palabras de la Matemáticas. Life is a Story Problem.org. http://www.allmathwords.org/es/r/rationalrootstheorem.html.

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La historia de revisión


2009-04-03: Traducido automáticamente por BabelFish. (babelfish.yahoo.com.)
2009-02-06: Acoplamientos agregados del vocabulario (McAdams, David.)
2009-01-29: Versión inicial (McAdams, David.)

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