Teorema de Laplace

La teorema de Laplace es un algoritmo para encontrar el determinante de una matriz. La teorema de Laplace también es llamada extensión por los menores de edad y extensión por los cofactores. La teorema de Laplace se nombra después del matemático francés Peter Simon Laplace (1749-1827).

Para encontrar un determinante de una matriz por la teorema de Laplace:

  • Seleccione cualquier fila o columna de la matriz;
  • Encuentre al menor de edad de cada elemento en la fila o la columna seleccionada;
  • Agregue o reste cada elemento multiplicado por el su cofactor.
La fórmula para la teorema de Laplace de una matriz A del n×n es:
El determinante de la matriz A es igual a la suma para i = 1 a k de la suma para j - 1 a k (- 1) del ^ (submarino i, j * submarino i, j de i+j)*a de M
donde está el aij un elemento de la matriz y del cij es el cofactor del aij del elemento.

El menor de edad de un elemento de una matriz es la matriz cuadrada formada fuera de la matriz excluyendo la fila y la columna del elemento. Véase el cuadro 1.

El cofactor de un elemento de una matriz es el determinante del menor de edad de ese elemento.

Para la matriz 3x3: fila 1: a11, a12, a13, fila 2: a21, a22, a23, fila 3: a31, a32, a33; el cofactor del elemento a12 es arsenal: row1: a21, a23; fila 2: a31, a33; el cofactor del elemento a21 es arsenal: row1: a12, a13; fila 2: a32, a33; el cofactor del elemento a33 es arsenal: row1: a11, a12; fila 2: a21, a22;
Cuadro 1: Menores de edad de una matriz 3×3.

matriz 2x2: fila 1: +, -; fila 2: -, +
Cuadro 2: Muestras de los cofactores para una matriz 2×2.

matriz 3x3: fila 1: +, -, +; fila 2: -, +, -; fila 3: +, -, +;
Cuadro 3: Muestras de los cofactores para una matriz 3×3.

matriz 4x4: fila 1: +, -, +, -; fila 2: -, +, -, +; fila 3: +, -, +, -; fila 4: -, +, -, +;
Cuadro 4: Muestras de los cofactores para una matriz 4×4.

A si un elemento y su cofactor están añadiros o restados del resultado depende de la posición del elemento en la matriz. Figura que 2, 3, y 4 demuestran si un elemento particular está agregado o restado.

Para construir la ecuación para la teorema de Laplace, multiplique cada elemento de la fila seleccionada o la columna por su cofactor y aplique la muestra. Asuma, por ejemplo, la columna 3 se selecciona. La ecuación entonces está:

Determinante de la matriz 3x3: fila 1: a11, a12, a13 rojo; fila 2: a21, a22, a23 rojo; fila 3: a31, a32, a33 rojo; es igual a a31*determinant de la matriz 2x2: fila 1: a21, a22; fila 2: a31, a23 más a32 * el determinante de la fila 1 de la matriz 2x2: a11, a12; fila 2: a31, a32; a33 más mide el tiempo del determinante 2x2 de la matriz row1: a11, a12, fila 2: a21, a22.

Ejemplo

PasoFiguraDescripción
1matriz 3x3 A = 1:1 de la fila, 3, -2; 2:2 de la fila, 0, -2; 3:3 de la fila, -1, -1.Encuentre el determinante 3x3 de la matriz A por la extensión del cofactor.
21:1 de la matriz 3x3 = de la fila, 3, -2; 2:2 de la fila, 0, -2; 3:3 de la fila, -1, -1. Se destaca la fila 2.Seleccione una fila o una columna para ampliarse. Puesto que el elemento a22 es cero, hace cálculos más fáciles. Se selecciona la fila 2.
31:1 de la matriz 3x3 = de la fila, azul 3, azul -2; fila 2: rojo 2, 0, -2; el 3:3 de la fila, azul -1, azul -1 da el 1:3 de la fila de la matriz del cofactor 2x2, -2; 2:-1 de la fila, -1.Comience con el elemento a21. Encuentre el cofactor de a21.
4El determinante del 1:3 de la matriz 2x2 = de la fila, -2; reme el 2:-1, -1 = (3*-1) - (- 2*-1) = -3 - 2 = -5Calcule el valor del cofactor de a21.
5matriz 3x3 = fila 1: azul 1, 3, azul -2; 2:2 de la fila, rojo 0, -2; fila 3: azul 3, -1, azul -1.Puesto que a22 es cero, no es necesario calcular el valor del cofactor de a22 desde 0·x = 0.
6matriz 3x3 = fila 1: azul 1, azul 3, -2; 2:2 de la fila, 0, rojo -2; fila 3: el azul 3, azul -1, -1 da el 1:3 de la fila de la matriz del cofactor 2x2, -2; 2:-1 de la fila, -1.Ahora encuentre el cofactor del elemento a23.
7El determinante del 1:1 de la matriz 2x2 = de la fila, 3; reme el 2:3, -1 = (1*-1) - (3*3) = -1 - 9 = -10Calcule el valor del cofactor de a23.
8- (2*-5) + (0*?)- (- 2*10) = - (- 10) +0-20 = 10-20 = -10}Utilice la ecuación del cofactor para encontrar el determinante.
Cuadro 1: Extensión de Laplace.

Más información

  • cofactor. buscon.rae.es. Real Academia Española. 2009-04-03. http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=cofactor.

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Teorema de Laplace. 2009-04-03. Enciclopedia de Todas las Palabras de la Matemáticas. Life is a Story Problem.org. http://www.allmathwords.org/es/l/laplaceexpansion.html.

Traducciones

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La historia de revisión


2009-04-03: Traducido automáticamente por BabelFish. (babelfish.yahoo.com.)
2009-01-08: Versión inicial (McAdams, David.)

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